与公转轨道平行的轨道#
与公转轨道平行的轨道有两条,分别为θs=θp,ηs=ηp 和θs=180∘−θp,ηs=180∘+ηp 的轨道,在这两条戴森云轨道上 n′=(0,0,±1)。
这时天顶角的表达式为
{cosτ1≈cosαsin(kω+β)cos(ω+λ)−[cosαcos(kω+β)cosγ+sinαsinγ]sin(ω+λ)cosτ2≈−cosαsin(kω+β)cos(ω−λ)+[cosαcos(kω+β)cosγ+sinαsinγ]sin(ω−λ)这里 λ 满足 cosλ=1/1+f2,sinλ=f/1+f2,显然 λ∈(0,2π) 是 f 的增函数。
在潮汐锁定星球上,除了公转周期与自转周期之比 k=1 外,游戏中潮汐锁定的行星还有一个非常好的特质:当生成器决定某个行星为潮汐锁定时,会将其地轴倾角乘以 0.01,因而潮汐锁定星球上的对此轨道的目标点可以进一步化简为
cosτ≈±cosαsin(β∓λ)此时天顶角与公转相位无关,也就是说任意时间放下去可以弹射的弹射器能够一直发射。且积分可知每个轨道可发射面积比例与 f 无关,固定为 38.9%。
与公转轨道垂直的轨道#
与公转轨道垂直的轨道同样有两条,分别为 θs=θp+90∘,ηs=ηp 和 θs=90∘−θp,ηs=ηp+180∘。
假定地轴倾角 γ=0,在这样的轨道上天顶角分别为
{cosτ3≈ sgn (cosω)sinαcosλ−cosαcos((k−1)ω+β)sinλcosτ4≈− sgn (cosω)sinαcosλ−cosαcos((k−1)ω+β)sinλ从公式中可以看出如果两条轨道同时存在,那么位于任何位置的弹射器总是可以有两个目标点,其天顶角为
cosτ′≈±sinαcosλ−cosαcos((k−1)ω+β)sinλ我们只讨论其中 sgn(cosω) 取 1 的目标点,另一个目标点的情形可以通过纬度取负得到相同的结果。
因为 cosα≥0,sinλ>0,天顶角在 cos((k−1)ω+β)=1 时取得最小值,在cos((k−1)ω+β)=−1 时取得最大值,如果我们希望弹射器对此目标点能做到全时段发射,则有
sinαcosλ−cosαsinλ=sin(α−λ)≥cos85∘=sin5∘sinαcosλ+cosαsinλ=sin(α+λ)≤cos30∘=sin60∘因根据定义 α−λ∈(−180∘,90∘),α+λ∈(−90∘,180∘),上述条件就是要求 α−λ∈[5∘,90∘],α+λ∈[0∘,60∘]∪[120∘,180∘],整理得对给定的 λ,α 需要满足
(λ+5∘≤α≤60∘−λ)∨(max(λ+5∘,120∘−λ)≤α≤90∘)才能对此目标点实现全时段发射。存在此类低纬度地区的条件是 λ≤27.5∘,对应 f≤0.52。这个条件是比较难满足的,而且符合此条件的行星更适合用于放锅接收光子而不是打帆。
在高纬度地区,λ=62.5∘,对应 f=1.92 时获得最大范围。
如果需要考虑地轴倾角 γ,粗略地只需将上述的 α 替换为 α±γ 即可。
相对行星静止的目标点集合#
弹射器可以自动切换轨道后,很自然地我们希望考虑使用多条轨道达到最大发射效率。其中最明显地就是上述四条与行星公转轨道平行和垂直地戴森云轨道。这四个轨道组合可以形成四个相对于行星保持静止的目标点,天顶角分别为
⎩⎨⎧cosτa≈cosτb≈cosτc≈cosτd≈cosαsin(kω+β)cos(ω+λ)−[cosαcos(kω+β)cosγ+sinαsinγ]sin(ω+λ)−cosαsin(kω+β)cos(ω−λ)+[cosαcos(kω+β)cosγ+sinαsinγ]sin(ω−λ)cosγ(sinαcosλ−cosαsinλcosωcos(kω+β))−sinγ(cosλcosαcos(kω+β)+cosωsinαsinλ)−cosαsinλsinωsin(kω+β)cosγ(−sinαcosλ−cosαsinλcosωcos(kω+β))+sinγ(cosλcosαcos(kω+β)−cosωsinαsinλ)−cosαsinλsinωsin(kω+β)开启自动切换轨道后,行星上某点的弹射器只需上述任一天顶角满足条件即可发射。
潮汐锁定星球#
在潮汐锁定星球上,γ=0,k=1,此时
⎩⎨⎧cosτa≈−cosαcosβsinλ+cosαsinβcosλcosτb≈−cosαcosβsinλ−cosαsinβcosλcosτc≈−cosαcosβsinλ+sinαcosλcosτd≈−cosαcosβsinλ−sinαcosλ在给定点上四个天顶角不会变化。
这样我们可以得到潮汐锁定星球上在这四条轨道上全时段可发射面积比例随距离 f 变化的图像:

一个比较好的拟合函数(最大误差不超过7)是
sinh0.3815+(sinh1.3+f)sinh1sinh1当f→∞ 时面积比例趋近于 38.9%。
可发射范围的变化#
因为这四个目标点总是相对于星球静止的,对给定轨道任何时间总的可发射范围都不会变化,潮汐锁定星球可发射范围与其它类型的星球没有区别,只不过在潮汐锁定星球上任一给定经纬度位置总是处于或不处于可发射范围内。因此我们可以直接考察潮汐锁定星球上的可发射面积随 f 的变化,结论对一般星球仍然适用。
观察上述目标点天顶角的表达式,发现恰好能用球面上的坐标(x,y,z)=(cosαcosβ,cosαsinβ,sinα)替换全部的α,β:
⎩⎨⎧cosτa≈−xsinλ+ycosλcosτb≈−xsinλ−ycosλcosτc≈−xsinλ+zcosλcosτd≈−xsinλ−zcosλ右边全部是平面的表达式,可见可发射范围是球面与两个平行平面所夹的部分,例如下图绿色部分就是 τc 对应的可发射范围 (此处示例的 f=1)

全部四个目标点可发射范围的集合是

所有这种环面的对称轴方向向量是 (−sinλ,±cosλ,0) 和(−sinλ,0,±cosλ),可见随着 f 增大,对称轴分别沿着赤道、正午经线向直射点靠拢。
当f<3 时一般可以认为可发射区域集中于向阳面,而当 f 大于此值时,以直射点为中心一圈不可发射区域逐渐以十字型扩大并向圆形发展。
另一个需要注意的范围是 f∈[0.58,11.43],这个范围内极点附近可以发射,这个范围之外则不能。