太阳帆发射指西Remix

2025-02-03

Gamers

Dyson Sphere Program

这篇文章最早发布在 NGA 上，官方在 V0.10.32.25496 中增加了自动选择轨道弹射模式，所以原文的许多内容不再具有指导意义。这里重新修改一下行文，增加自动弹射下选择轨道的内容。

基础设定#

电磁轨道弹射器要正常工作需要满足两个条件：

射击目标点的仰角范围在5°到60°之间；
与目标点的连线不被其它天体遮挡。天体遮挡的条件是该天体中心到连线的距离小于天体半径+120米。

第2条很好满足，只要不在卫星上布置弹射器就几乎不会受此影响。我们这里重点讨论第1条。

我们约定全局坐标系以戴森云轨道界面向上为 $z$ 轴，经度0°方向为 $x$ 轴，经度90°方向为 $y$ 轴，如图所示：

全局坐标系

弹射目标点#

根据代码，目标点一定位于戴森云轨道上，其方向是戴森云轨道法向与弹射器位置方向的向量积。下面我们来看计算目标点的位置。

戴森云轨道法向#

在创建戴森云轨道的时候需要设置两个参数：轨道倾角 $\theta_{s}$ 和升交角经度 $\eta_{s}$ 。轨道法向按如下方法确定：

NOTE
将 $z$ 轴法向 $\bm{i} = (0,0,1)$ 先绕 $x$ 轴旋转 $\theta_{s}$ ，再绕 $z$ 轴旋转 $\eta_{s}$

我们用 $R_{z}$ 、 $R_{x}$ 分别表示绕 $z$ 轴和 $x$ 轴的旋转矩阵，旋转角度用上标表示，于是轨道法向为

\bm{n} = R_{z}^{\eta_{s}}R_{x}^{\theta_{s}}\bm{i} = \begin{pmatrix} \sin\theta_{s}\sin\eta_{s} \\ - \sin\theta_{s}\cos\eta_{s} \\ \cos\theta_{s} \end{pmatrix}

行星位置#

先考虑行星公转。记 $r$ 为公转轨道半径， $\omega$ 为行星在公转轨道上的相位， $\bm{v}_{p}$ 为行星在轨道上的径向单位向量，则行星在其公转轨道（游戏中所有公转轨道都是正圆）上的位置为 $r\left( \cos\omega,\sin\omega,0 \right)^{T} = r\bm{v}_{p}$

再考虑行星轨道的影响，行星轨道的参数可以在行星一览中得到：

行星一览

记行星轨道的倾角为 $\theta_{p}$ ，升交点经度为 $\eta_{p}$ ，和戴森云轨道相同，这次我们要对 $\bm{v}_{p}$ 作旋转，于是行星的全局位置为

\bm{r}_{p} = rR_{z}^{\eta_{p}}R_{x}^{\theta_{p}}\bm{v}_{p} = r\bm{u}_{p}

其中 $\bm{u}_{p} = R_{z}^{\eta_{p}}R_{x}^{\theta_{p}}\bm{v}_{p}$ 是行星的单位位置向量。

弹射器位置#

接下来计算弹射器在行星上的坐标，记纬度为 $\alpha$ （北纬取正，南纬取负），经度为 $\beta$ （东经取正，西经取负），经纬度可以在游戏界面左下角得到。考虑到星球的自转，弹射器在星球上的坐标需要加上随星球自转获得的相位 $\sigma$ ，因而弹射器在星球上的局部坐标为

a\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos(\beta + \sigma) \\ \cos\alpha\sin(\beta + \sigma) \\ \sin\alpha\end{pmatrix} = a\bm{v}_{e}

$\bm{v}_{e}$ 是弹射器在行星上的坐标， $a$ 是行星半径，按照官方给出的设定，这个值固定为200米。

最后，行星的地轴倾角 $\gamma$ 会带来一个绕 $y$ 轴的旋转 $R_{y}^{\gamma}$ ，所以弹射器的全局坐标为

\bm{r}_{e} = r\bm{u}_{p} + aR_{y}^{\gamma}\bm{v}_{e}

第一项是弹射器随行星公转产生的位置变化，第二项是弹射器因自转产生的变化。

近似计算目标点位置#

现在我们知道了弹射器的坐标 $\bm{r}_{e}$ 、戴森云轨道的法向 $\bm{n}$ ，目标点的位置是

\bm{t} = \frac{\bm{n} \times \bm{r}_{e}}{|\bm{n} \times \bm{r}_{e}|}R

最后的 $R$ 是戴森云的轨道半径。

可以想见，如果把这个式子完全展开会非常复杂。我们先来讨论一下简化的办法。

首先，观察 $\bm{r}_{e}$ 的表达式，注意到它由两个向量相加而成，一个长度为 $r$ ，另一个为 $a$ ，考虑到行星的轨道半径在实际游戏中几乎不会低于0.25AU（即1万米），与之相比200米的行星半径几乎可以忽略。故 $a \ll r$ ， $\bm{r}_{e} \approx r\bm{u}_{p}$ 。

即目标点的位置几乎只与行星在公转轨道上的位置有关。实际上在这之前计算弹射器位置时忽略了弹射器自身的高度（在代码中有影响），但这里可以看见该因素同样不紧要。

这样 $\bm{n} \times \bm{r}_{e} \approx \bm{n} \times r\bm{u}_{p}$ ，目标点的单位方向向量即可近似写为

\bm{u}_{t} \approx \frac{\bm{n} \times \bm{u}_{p}}{|\bm{n} \times \bm{u}_{p}|}

目标点对弹射器的天顶角#

弹射器的仰角也就是目标点在弹射器处天顶角的余角，我们下面就来计算天顶角。

由于行星是个球（而不是方体），弹射器处的天顶方向就是弹射器在星球上的方向向量 $R_{y}^{\gamma}\bm{v}_{i}$ 经行星公转轨道倾斜修正的结果 $R_{z}^{\eta_{p}}R_{x}^{\theta_{p}}R_{y}^{\gamma}\bm{v}_{i}$ 。而目标点的视向，就是目标点在全局坐标系中的位置向量 $\bm{t}$ ，减去弹射器在全局坐标系中的位置向量 $\bm{r}_{e}$ ，即 $\bm{t} - \bm{r}_{e} \approx R\bm{u}_{t} - r\bm{u}_{p}$ （再次利用 $a \ll r$ ）。于是天顶角 $\tau$ 的余弦满足

\cos\tau \approx \frac{R_{z}^{\eta_{p}}R_{x}^{\theta_{p}}R_{y}^{\gamma}\bm{v}_{i} \cdot \left( R\bm{u}_{t} - r\bm{u}_{p} \right)}{|R_{z}^{\eta_{p}}R_{x}^{\theta_{p}}R_{y}^{\gamma}\bm{v}_{i}\| R\bm{u}_{t} - r\bm{u}_{p}|}

在分母中， $R_{z}^{\eta_{p}}R_{x}^{\theta_{p}}R_{y}^{\gamma}\bm{v}_{i}$ 是单位向量，目标点单位方向向量 $\bm{u}_{t}$ 必定与弹射器单位方向向量 $\bm{u}_{p}$ 正交（向量积的性质），所以分母为 $\sqrt{R^{2} + r^{2}}$ ，记行星公转轨道半径 $r$ 与戴森云轨道半径 $R$ 之比 $\frac{r}{R}$ 为 $f$ ，上式可以写为

\cos\tau \approx \frac{R_{z}^{\eta_{p}}R_{x}^{\theta_{p}}R_{y}^{\gamma}\bm{v}_{i} \cdot \left( \bm{t} - \bm{r}_{e} \right)}{\sqrt{1 + f^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + f^{2}}}R_{z}^{\eta_{p}}R_{x}^{\theta_{p}}R_{y}^{\gamma}\bm{v}_{i} \cdot \left( \frac{\bm{n} \times \bm{u}_{p}}{|\bm{n} \times \bm{u}_{p}|} - f\bm{u}_{p} \right)

利用标量积 $A\bm{x} \cdot \bm{y} = \bm{x} \cdot A^{\ast}\bm{y}$ 和旋转矩阵的正交性，我们有

\cos\tau \approx \frac{1}{\sqrt{1 + f^{2}}}\bm{v}_{i} \cdot R_{y}^{- \gamma}R_{x}^{- \theta_{p}}R_{z}^{- \eta_{p}}\left( \frac{\bm{n} \times \bm{u}_{p}}{|\bm{n} \times \bm{u}_{p}|} - f\bm{u}_{p} \right)

再利用 $M\left( \bm{a} \times \bm{b} \right) = M\bm{a} \times M\bm{b}$ 的性质，进一步得到

\cos\tau \approx \frac{1}{\sqrt{1 + f^{2}}}\bm{v}_{i} \cdot R_{y}^{- \gamma}\left( \frac{R_{x}^{- \theta_{p}}R_{z}^{\eta_{s} - \eta_{p}}R_{x}^{\theta_{s}}\bm{i} \times \bm{v}_{p}}{|R_{x}^{- \theta_{p}}R_{z}^{\eta_{s} - \eta_{p}}R_{x}^{\theta_{s}}\bm{i} \times \bm{v}_{p}|} - f\bm{v}_{p} \right)

设 $\bm{n}' = R_{x}^{- \theta_{p}}R_{z}^{\eta_{s} - \eta_{p}}R_{x}^{\theta_{s}}\bm{i}$ ，这可以写为

\cos\tau \approx \frac{1}{\sqrt{1 + f^{2}}}\bm{v}_{i} \cdot R_{y}^{- \gamma}\left( \frac{\bm{n}' \times \bm{v}_{p}}{|\bm{n}' \times \bm{v}_{p}|} - f\bm{v}_{p} \right)

$\bm{n}'$ 可以看作是以行星公转轨道为基准平面的戴森云轨道的法向。

设 $k$ 为行星的公转周期与自转周期之比，则弹射器由自转带来的相位 $\sigma = k\omega$ 。式中三个向量分别为

\bm{n}' = R_{x}^{- \theta_{p}}R_{z}^{\eta_{s} - \eta_{p}}R_{x}^{\theta_{s}}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix},\bm{v}_{i} = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos(k\omega + \beta) \\ \cos\alpha\sin(k\omega + \beta) \\ \sin\alpha\end{pmatrix},\bm{v}_{p} = \begin{pmatrix} \cos\omega \\ \sin\omega \\ 0\end{pmatrix}

最后回顾一下各项变量的含义：

$\tau$ :目标点在弹射器处的天顶角，其范围需要在 $\lbrack 30{^\circ},85{^\circ}\rbrack$ 内弹射器才不会受到俯仰限制；
$f$ :公转轨道半径与戴森云轨道半径之比，取值范围 $(0,\infty)$ ；
$k$ :行星公转周期与自转周期之比，取值范围 $(0,\infty)$ （实际游戏里还没见到小于1的行星）；
$\alpha$ :弹射器在行星上的纬度，取值范围 $\lbrack - 90{^\circ},90{^\circ}\rbrack$ ；
$\beta$ :弹射器在行星上的经度，取值范围 $( - 180{^\circ},180{^\circ}\rbrack$ ；
$\gamma$ :行星的地轴倾角，取值范围 $\lbrack 0{^\circ},90{^\circ}\rbrack$ ；
$\theta_{s}$ :戴森云轨道的轨道倾角，取值范围 $\lbrack 0{^\circ},180{^\circ}\rbrack$ ；
$\eta_{s}$ :戴森云轨道的升交点经度，取值范围 $\lbrack 0{^\circ},360{^\circ}\rbrack$ ；
$\theta_{p}$ :行星公转轨道的轨道倾角，取值范围 $\lbrack 0{^\circ},180{^\circ}\rbrack$ ；
$\eta_{p}$ :行星公转轨道的升交点经度，取值范围 $\lbrack 0{^\circ},360{^\circ}\rbrack$ ；
$\omega$ :行星在公转轨道上的相位，取值范围 $\lbrack 0{^\circ},360{^\circ})$ 。

特殊轨道#

与公转轨道平行的轨道#

与公转轨道平行的轨道有两条，分别为 $\theta_{s} = \theta_{p},\eta_{s} = \eta_{p}$ 和 $\theta_{s} = 180{^\circ} - \theta_{p},\eta_{s} = 180{^\circ} + \eta_{p}$ 的轨道，在这两条戴森云轨道上 $\bm{n}' = (0,0, \pm 1)$ 。

这时天顶角的表达式为

\begin{cases}\cos\tau_{1} \approx \cos\alpha\sin(k\omega + \beta)\cos(\omega + \lambda) - \left\lbrack \cos\alpha\cos(k\omega + \beta)\cos\gamma + \sin\alpha\sin\gamma \right\rbrack\sin(\omega + \lambda) \\ \cos\tau_{2} \approx - \cos\alpha\sin(k\omega + \beta)\cos(\omega - \lambda) + \left\lbrack \cos\alpha\cos(k\omega + \beta)\cos\gamma + \sin\alpha\sin\gamma \right\rbrack\sin(\omega - \lambda)\end{cases}

这里 $\lambda$ 满足 $\cos\lambda = {1}/{\sqrt{1 + f^{2}}}$ ， $\sin\lambda = {f}/{\sqrt{1 + f^{2}}}$ ，显然 $\lambda \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$ 是 $f$ 的增函数。

在潮汐锁定星球上，除了公转周期与自转周期之比 $k = 1$ 外，游戏中潮汐锁定的行星还有一个非常好的特质：当生成器决定某个行星为潮汐锁定时，会将其地轴倾角乘以 $0.01$ ，因而潮汐锁定星球上的对此轨道的目标点可以进一步化简为

\cos\tau \approx \pm \cos\alpha\sin(\beta \mp \lambda)

此时天顶角与公转相位无关，也就是说任意时间放下去可以弹射的弹射器能够一直发射。且积分可知每个轨道可发射面积比例与 $f$ 无关，固定为 $38.9\%$ 。

与公转轨道垂直的轨道#

与公转轨道垂直的轨道同样有两条，分别为 $\theta_{s} = \theta_{p} + 90{^\circ},\eta_{s} = \eta_{p}$ 和 $\theta_{s} = 90{^\circ} - \theta_{p},\eta_{s} = \eta_{p} + 180{^\circ}$ 。

假定地轴倾角 $\gamma = 0$ ，在这样的轨道上天顶角分别为

\begin{cases}\cos\tau_{3} \approx \text{ sgn }\left( \cos\omega \right)\sin\alpha\cos\lambda - \cos\alpha\cos\left( (k - 1)\omega + \beta \right)\sin\lambda \\ \cos\tau_{4} \approx - \text{ sgn }\left( \cos\omega \right)\sin\alpha\cos\lambda - \cos\alpha\cos((k - 1)\omega + \beta)\sin\lambda\end{cases}

从公式中可以看出如果两条轨道同时存在，那么位于任何位置的弹射器总是可以有两个目标点，其天顶角为

\cos\tau' \approx \pm \sin\alpha\cos\lambda - \cos\alpha\cos((k - 1)\omega + \beta)\sin\lambda

我们只讨论其中 $\text{sgn}\left( \cos\omega \right)$ 取 $1$ 的目标点，另一个目标点的情形可以通过纬度取负得到相同的结果。

因为 $\cos\alpha \geq 0,\sin\lambda > 0$ ，天顶角在 $\cos((k - 1)\omega + \beta) = 1$ 时取得最小值，在 $\cos((k - 1)\omega + \beta) = - 1$ 时取得最大值，如果我们希望弹射器对此目标点能做到全时段发射，则有

\begin{array}{r}\sin\alpha\cos\lambda - \cos\alpha\sin\lambda = \sin(\alpha - \lambda) \geq \cos 85{^\circ} = \sin 5{^\circ} \\ \sin\alpha\cos\lambda + \cos\alpha\sin\lambda = \sin(\alpha + \lambda) \leq \cos 30{^\circ} = \sin 60{^\circ}\end{array}

因根据定义 $\alpha - \lambda \in ( - 180{^\circ},90{^\circ}),\alpha + \lambda \in ( - 90{^\circ},180{^\circ})$ ，上述条件就是要求 $\alpha - \lambda \in \lbrack 5{^\circ},90{^\circ}\rbrack,\alpha + \lambda \in \lbrack 0{^\circ},60{^\circ}\rbrack \cup \lbrack 120{^\circ},180{^\circ}\rbrack$ ，整理得对给定的 $\lambda$ ， $\alpha$ 需要满足

(\lambda + 5{^\circ} \leq \alpha \leq 60{^\circ} - \lambda) \vee \left( \max(\lambda + 5{^\circ},120{^\circ} - \lambda) \leq \alpha \leq 90{^\circ} \right)

才能对此目标点实现全时段发射。存在此类低纬度地区的条件是 $\lambda \leq 27.5{^\circ}$ ，对应 $f \leq 0.52$ 。这个条件是比较难满足的，而且符合此条件的行星更适合用于放锅接收光子而不是打帆。

在高纬度地区， $\lambda = 62.5{^\circ}$ ，对应 $f = 1.92$ 时获得最大范围。

如果需要考虑地轴倾角 $\gamma$ ，粗略地只需将上述的 $\alpha$ 替换为 $\alpha \pm \gamma$ 即可。

相对行星静止的目标点集合#

弹射器可以自动切换轨道后，很自然地我们希望考虑使用多条轨道达到最大发射效率。其中最明显地就是上述四条与行星公转轨道平行和垂直地戴森云轨道。这四个轨道组合可以形成四个相对于行星保持静止的目标点，天顶角分别为

\begin{cases}\cos\tau_{a} \approx & \cos\alpha\sin(k\omega + \beta)\cos(\omega + \lambda) \\ & - \left\lbrack \cos\alpha\cos(k\omega + \beta)\cos\gamma + \sin\alpha\sin\gamma \right\rbrack\sin(\omega + \lambda) \\ \cos\tau_{b} \approx & - \cos\alpha\sin(k\omega + \beta)\cos(\omega - \lambda) \\ & + \left\lbrack \cos\alpha\cos(k\omega + \beta)\cos\gamma + \sin\alpha\sin\gamma \right\rbrack\sin(\omega - \lambda) \\ \cos\tau_{c} \approx & \cos\gamma(\sin\alpha\cos\lambda - \cos\alpha\sin\lambda\cos\omega\cos(k\omega + \beta)) \\ & - \sin\gamma(\cos\lambda\cos\alpha\cos(k\omega + \beta) + \cos\omega\sin\alpha\sin\lambda) \\ & - \cos\alpha\sin\lambda\sin\omega\sin(k\omega + \beta) \\ \cos\tau_{d} \approx & \cos\gamma( - \sin\alpha\cos\lambda - \cos\alpha\sin\lambda\cos\omega\cos(k\omega + \beta)) \\ & + \sin\gamma(\cos\lambda\cos\alpha\cos(k\omega + \beta) - \cos\omega\sin\alpha\sin\lambda) \\ & - \cos\alpha\sin\lambda\sin\omega\sin(k\omega + \beta)\end{cases}

开启自动切换轨道后，行星上某点的弹射器只需上述任一天顶角满足条件即可发射。

潮汐锁定星球#

在潮汐锁定星球上， $\gamma = 0,k = 1$ ，此时

\begin{cases}\cos\tau_{a} \approx - \cos\alpha\cos\beta\sin\lambda + \cos\alpha\sin\beta\cos\lambda \\ \cos\tau_{b}\approx - \cos\alpha\cos\beta\sin\lambda-\cos\alpha\sin\beta\cos\lambda \\ \cos\tau_{c} \approx - \cos\alpha\cos\beta\sin\lambda+\sin\alpha\cos\lambda \\ \cos\tau_{d} \approx - \cos\alpha\cos\beta\sin\lambda -\sin\alpha\cos\lambda \end{cases}

在给定点上四个天顶角不会变化。

这样我们可以得到潮汐锁定星球上在这四条轨道上全时段可发射面积比例随距离 $f$ 变化的图像：

f函数变化

一个比较好的拟合函数（最大误差不超过 $7%$ ）是

\sinh 0.3815 + \frac{\sinh 1}{\left( \sinh 1.3 + f \right)^{\sinh 1}}

当 $f \rightarrow \infty$ 时面积比例趋近于 $38.9\%$ 。

可发射范围的变化#

因为这四个目标点总是相对于星球静止的，对给定轨道任何时间总的可发射范围都不会变化，潮汐锁定星球可发射范围与其它类型的星球没有区别，只不过在潮汐锁定星球上任一给定经纬度位置总是处于或不处于可发射范围内。因此我们可以直接考察潮汐锁定星球上的可发射面积随 $f$ 的变化，结论对一般星球仍然适用。

观察上述目标点天顶角的表达式，发现恰好能用球面上的坐标 $(x,y,z) = \left( \cos\alpha\cos\beta,\cos\alpha\sin\beta,\sin\alpha \right)$ 替换全部的 $\alpha,\beta$ ：

\begin{cases} \cos\tau_{a} \approx - x\sin\lambda + y\cos\lambda \\ \cos\tau_{b} \approx - x\sin\lambda - y\cos\lambda \\ \cos\tau_{c} \approx - x\sin\lambda + z\cos\lambda \\ \cos\tau_{d} \approx - x\sin\lambda - z\cos\lambda \end{cases}

右边全部是平面的表达式，可见可发射范围是球面与两个平行平面所夹的部分，例如下图绿色部分就是 $\tau_{c}$ 对应的可发射范围 (此处示例的 $f = 1$ )

单目标点的可发射范围

全部四个目标点可发射范围的集合是

四个目标点的可发射范围

所有这种环面的对称轴方向向量是 $\left( - \sin\lambda, \pm \cos\lambda,0 \right)$ 和 $\left( - \sin\lambda,0, \pm \cos\lambda \right)$ ，可见随着 $f$ 增大，对称轴分别沿着赤道、正午经线向直射点靠拢。

当 $f < \sqrt{3}$ 时一般可以认为可发射区域集中于向阳面，而当 $f$ 大于此值时，以直射点为中心一圈不可发射区域逐渐以十字型扩大并向圆形发展。

另一个需要注意的范围是 $f \in \lbrack 0.58,11.43\rbrack$ ，这个范围内极点附近可以发射，这个范围之外则不能。